卜瓦松分布 (Poisson distribution)

常常在電視上聽到某某交通法規實施或嚴格取締交通違規行動後,道路上每月發上車禍的次數明顯減少了。但是所謂的「明顯減少」是怎麼判斷的呢,每個月都會偶爾發生一些意外事故,事件數量到底要有多大的改變才算是明顯的變化?

或者家裡附近的警察每兩個小時固定會出來巡邏一次,那麼家裡門前在兩個小時之內都沒有任何警察經過的機率是多少呢?這些問題都可以仰賴卜瓦松分配來解決。假設某區域單位時間之內平均事件發生次數為λ,那麼在這區域中事件發生的次數X就符合卜瓦松分配。還有許多日常生活中週遭的現象也符合卜瓦松分配,例如:每小時進入學校大門口的人數、隔壁麵店每小時的客人數量、每次紅綠燈之間的車流量等等。

以下是卜瓦松分布的數學式:

卜瓦松分布只有一個參數,單位時間平均事件發生次數λ。

令X為一離散隨機變數,若X符合卜瓦松分布,其機率密度分布函數為(P.D.F)為:

回到一開始的問題,已知警察平均每兩個小時巡邏一次。那麼家裡門前在兩個小時內都沒有警察經過的機率是:

結論是如果真的警察平均每兩個小時巡邏一次,那麼小偷在兩個小時期間闖空門不被抓到的機會是三成六七。

卜瓦松分布的機率密度函數圖:

附錄:卜瓦松分布圖R程式碼

x=seq(0,20,by=1)
lambda=c(1,2,5,10)
plot(x,dpois(x,1),"o", ylab="f(x)",ylim=c(0,0.4),main=" Poisson Distribution", cex.lab=1.2, cex.axis=1.2)
legend.name=NULL
for (i in 1:4){
lines(x, dpois(x,lambda[i]),col=i,type="o")
legend.name[i]=paste("λ=", lambda[i])
}
legend(14,0.35, lty=1,legend.name,col=(1:4), cex=1)